1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
--------------------------------------------------------------------------------
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111
--------------------------------------------------------------------------------
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
--------------------------------------------------------------------------------
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321
--------------------------------------------------------------------------------
20 = 10 + 10 --------- 10 x 10 = 100
20 = 11 + 9 ----------- 11 x 9 = 99 ห่างจากข้างบน 1
20 = 12 + 8 ----------- 12 x 8 = 96 ห่างจากข้างบน 3
20 = 13 + 7 ----------- 13 x 7 = 91 ห่างจากข้างบน 5
20 = 14 + 6 ----------- 14 x 6 = 84 ห่างจากข้างบน 7
20 = 15 + 5 ----------- 15 x 5 = 75 ห่างจากข้างบน 9
20 = 16 + 4 ----------- 16 x 4 = 64 ห่างจากข้างบน 11
20 = 17 + 3 ----------- 17 x 3 = 51 ห่างจากข้างบน 13
20 = 18 + 2 ----------- 18 x 2 = 36 ห่างจากข้างบน 15
20 = 19 + 1 ----------- 19 x 1 = 19 ห่างจากข้างบน 17
20 = 20 + 0 ----------- 20 x 0 = 0 ห่างจากข้างบน 19
ที่มา : http://www.oknation.net/blog/ironic/2007/07/24/entry-1
วันพุธที่ 12 กันยายน พ.ศ. 2555
ทำไม…อะไร เกี่ยวกับคณิตศาสตร์
ทำไม…การหารจึงใช้เครื่องหมาย ÷
ทำไม…การหารจึงใช้เครื่องหมาย ÷
สัญลักษณ์ ÷ ได้ถูกนำมาใช้โดย จอห์น วอลลิส ( John Wallis 1616 – 1703 )ในประเทศอังกฤษและสหรัฐอเมริกา แต่ไม่แพร่หลายในทวีปยุโรป เพราะใช้เครื่องหมายโครอน( : )กันจนชินแล้ว
ในปี 1923 คณะกรรมการแห่งชาติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกากล่าวว่าเครื่องหมายหาร (÷)และเครื่องหมายโครอน( : ) ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในชีวิตธุรกิจ แต่ใช้ในวิชาพีชคณิตเท่านั้น จึงได้มีการนำเครื่องหมายเศษส่วน( / )มาใช้แทนเครื่องหมายหาร (÷)
อ้างอิงจากรายงาน National Committee on Mathematical Requirement ของ Mathematical Association of America,Inc( 1923,P 81 )
เครื่องหมาย ´ มีกี่แบบ
คำว่า Multiply มาจากคำว่า Multiplicare เป็นภาษาละติน ซึ่งหมายถึง การมีค่าเพิ่มมากขึ้นเป็นทวีคูณ นักคณิตศษสตร์ Oughtred เป็นคนคิดเครื่องหมายคูณเป็นรูป ´ ในปี1631 ต่อมา Harriot แนะนำให้ใช้เครื่องหมายจุด . ในปีเดียวกัน
ในปี ค.ศ. 1698 Leibniz เขียนถึง Bernoulli ว่า “ ฉันใช้ ´ เป็นสัญลักษณ์ในการคูณ มันสับสนกับตัวX บ่อยครั้ง ฉันจึงใช้สัญลักษณ์ง่ายๆ คือ . (จุด) ”
ปัจจุบันนี้การคูณใช้เครื่องหมาย 3 แบบได้แก่ 3´a หรือ 3.a หรือ (3)a หรือการวางชิดกันคือ 3a
ทำไม…การบวกจึงใช้เครื่องหมาย +
ว่าบวกมาจากภาษาละตินว่า adhere ซึ่งหมายความว่า “ ใส่เข้าไป ” Widman เป็นคนแรกที่คิดใช้เครื่องหมาย “ + ” และ “ - ” ในปี 1489 เขากล่าวว่า “ - คือ minus และ + คือ more เชื่อกันว่าสัญลักษณ์ “ + ” มาจากภาษาละติน et แปลว่า “ และ ”
การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์
ความสำคัญของการแก้ปัญหา
การแก้ปัญหาเป็นหัวใจของคณิตศาสตร์ ( Lester , 1977 : 12 ) มีความสำคัญ
เหมาะที่จะใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพราะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ช่วยให้นักเรียนพัฒนาศักยภาพในการวิเคราะห์ และเป็นเครื่องช่วยให้ประยุกต์ศักยภาพ
เหล่านั้นไปสู่สถานการณ์ใหม่
การแก้ปัญหาช่วยให้นักเรียนเรียนรู้ข้อเท็จจริง ทักษะ ความคิดรวบยอดและหลักการ
ต่างๆความสำเร็จในการแก้ปัญหาจะทำให้เกิดการพัฒนาคุณลักษณะของนักเรียนที่ต้องการ
เช่น ความใฝ่รู้
ในการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เนื้อหาทุกเรื่องในหลักสูตร ส่วนใหญ่จะมีวิธี
การนำเสนอความรู้โดยการใช้คำถามหรือตั้งปัญหาที่มีข้อความหรือสถานการณ์ ที่เราเรียกว่า
“ โจทย์ปัญหา ” เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกแก้โจทย์ปัญหาต่างๆ รวมทั้งฝึกฝนคิดค้นวิธีการ
แสวงหาคำตอบของโจทย์ปัญหานั้นด้วยตนเอง
การจัดการเรียนการสอนเกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหา มุ่งเน้นนักเรียนเป็นสำคัญ เน้น
การฝึกให้นักเรียนมีวิธีการที่ดี ในการแก้ปัญหา มากกว่าที่จะสอนให้นักเรียนรู้คำตอบของ
ปัญหา โดยพยายามส่งเสริมให้นักเรียนค้นพบรูปแบบหรือวิธีการแก้ปัญหาด้วยตนเอง
นี่คือ การเน้นทักษะกระบวนการคิดของนักเรียนนั่นเอง
เหมาะที่จะใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพราะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ช่วยให้นักเรียนพัฒนาศักยภาพในการวิเคราะห์ และเป็นเครื่องช่วยให้ประยุกต์ศักยภาพ
เหล่านั้นไปสู่สถานการณ์ใหม่
การแก้ปัญหาช่วยให้นักเรียนเรียนรู้ข้อเท็จจริง ทักษะ ความคิดรวบยอดและหลักการ
ต่างๆความสำเร็จในการแก้ปัญหาจะทำให้เกิดการพัฒนาคุณลักษณะของนักเรียนที่ต้องการ
เช่น ความใฝ่รู้
ในการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เนื้อหาทุกเรื่องในหลักสูตร ส่วนใหญ่จะมีวิธี
การนำเสนอความรู้โดยการใช้คำถามหรือตั้งปัญหาที่มีข้อความหรือสถานการณ์ ที่เราเรียกว่า
“ โจทย์ปัญหา ” เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกแก้โจทย์ปัญหาต่างๆ รวมทั้งฝึกฝนคิดค้นวิธีการ
แสวงหาคำตอบของโจทย์ปัญหานั้นด้วยตนเอง
การจัดการเรียนการสอนเกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหา มุ่งเน้นนักเรียนเป็นสำคัญ เน้น
การฝึกให้นักเรียนมีวิธีการที่ดี ในการแก้ปัญหา มากกว่าที่จะสอนให้นักเรียนรู้คำตอบของ
ปัญหา โดยพยายามส่งเสริมให้นักเรียนค้นพบรูปแบบหรือวิธีการแก้ปัญหาด้วยตนเอง
นี่คือ การเน้นทักษะกระบวนการคิดของนักเรียนนั่นเอง
ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นสถานการณ์หรือคำถามที่มีเนื้อหาสาระ กระบวนการ หรือ
ความรู้ที่ผู้เรียนไม่คุ้นเคยมาก่อน และไม่สามารถหาคำตอบได้ทันที การหาคำตอบจะต้อง
ใช้ความรู้และประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์และศาสตร์อื่นๆ ประกอบกับความสามารถด้าน
การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ และการตัดสินใจ
ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ดี ควรมีลักษณะดังนี้
1. สถานการณ์ของปัญหาและความยากง่ายต้องเหมาะสมกับวัยของผู้เรียน
2. ให้ข้อมูลอย่างเพียงพอที่จะใช้ในการพิจารณาแก้ปัญหาได้
3. ภาษาที่ใช้มีความชัดเจน รัดกุม และเข้าใจได้ง่าย
4. หาคำตอบได้หลายวิธี และอาจแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการต่างๆ เช่น การเขียน
แผนภาพการจัดทำตาราง หรือการสร้างสมการ
5. มีความท้าทายต่อความสามารถและช่วยกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาการเรียนรู้
ของผู้เรียน
ความรู้ที่ผู้เรียนไม่คุ้นเคยมาก่อน และไม่สามารถหาคำตอบได้ทันที การหาคำตอบจะต้อง
ใช้ความรู้และประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์และศาสตร์อื่นๆ ประกอบกับความสามารถด้าน
การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ และการตัดสินใจ
ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ดี ควรมีลักษณะดังนี้
1. สถานการณ์ของปัญหาและความยากง่ายต้องเหมาะสมกับวัยของผู้เรียน
2. ให้ข้อมูลอย่างเพียงพอที่จะใช้ในการพิจารณาแก้ปัญหาได้
3. ภาษาที่ใช้มีความชัดเจน รัดกุม และเข้าใจได้ง่าย
4. หาคำตอบได้หลายวิธี และอาจแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการต่างๆ เช่น การเขียน
แผนภาพการจัดทำตาราง หรือการสร้างสมการ
5. มีความท้าทายต่อความสามารถและช่วยกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาการเรียนรู้
ของผู้เรียน
ยุทธวิธีในการแก้ปัญหา ( Preblem Solving Strategies ) มีหลายรูปแบบ เช่น
การเขียนแผนผัง หรือ ภาพประกอบ
การทำตาราง หรือ กราฟ
การสร้างรูปแบบ
การทำปัญหาให้ง่ายลง
การเขียนเป็นประโยคทางคณิตศาสตร์
การหารูปแบบ
การเดาและตรวจสอบ
การทำย้อนกลับ
การแจกแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด
การเขียนแผนผัง หรือ ภาพประกอบ การทำตาราง หรือ กราฟ การสร้างรูปแบบ การทำปัญหาให้ง่ายลง การเขียนเป็นประโยคทางคณิตศาสตร์ การหารูปแบบ การเดาและตรวจสอบ การทำย้อนกลับ การแจกแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดเทคนิค คิดเลขเร็ว พ่อมดคณิตศาสตร์
ให้ลองคิดเลขในใจ แค่บวก-ลบ ยังทำให้หลายคนกุมขมับ ถ้าต้องคูณ หาร แถมยกกำลังด้วย คงต้องหบิยเครื่องคิดเลขมากดกันใหญ่ แต่ถ้าได้เรียนรู้เทคนิค "คิดในใจ" ตามเคล็ดลับ "พ่อมดคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา” แล้ว หลายคนคงเก็บเครื่องคิดเลขลงลิ้นชักแน่ๆ
ชาครีย์ เพชรพิเชษฐเชียร
ชาครีย์ เพชรพิเชษฐเชียร นิสิตปี 4 ภาควิชาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ เผยถึงการคิดเลขในใจที่ทำได้เร็วกว่าเครื่องคิดเลข จากเคล็ดลับในหนังสือ "กดเครื่องคิดเลขทำไม ในเมื่อคิดในใจได้เร็วกว่า" ผลงานเขียนของ ดร.อาเธอร์ เบนจามิน (Arthur Benjamin) ซึ่งเขาได้ร่วมแปลกับ พูนลาภ อุทัยเลิศอรุณ ว่าผู้เขียนเทคนิคการคิดเลขได้ตั้งข้อสังเกต คนเรามักทำอะไรจาก ซ้ายไปขวา แต่เรากลับคิดเลขจากขวาไปซ้าย ผู้เขียนจึงเสนอวิธีคิดเลขจากซ้ายไปขวาบ้าง
ตัวอย่างการบวกเลข 2 หลัก
95+38 = ?
วิธีคิดในใจคือ แยกตัวเลขเป็น 2 กลุ่ม คือ (90+30) และ (5+8) แล้วนำมารวมกัน ได้ 133
ตัวอย่างการบวกเลข 3 หลัก
763+854=?
วิธีคิดในใจคือ 800+700 =1,500 แล้วบวก 60+50 ได้ 1,610 แล้วนำไปบวกกับ 3+4 ที่เหลือ ได้คำตอบของโจทย์นี้เท่ากับ 1,617
ส่วนวิธีลบ ชาครีย์บอกว่า น่าจะเป็นวิธีที่คนทั่วไปไม่รู้ เพราะปกติเราจะตัวเลขตั้งแล้วลบ แต่วิธีของ ดร.เบนจามินคือ เปลี่ยนจากตัวเลขลบเป็นบวก (complement)
เช่น -23 มี complement เป็น 77
ตัวอย่างคือ 138-68 ให้เปลี่ยนเป็น (138+32) – 100 จะคิดได้ง่ายกว่า
หรืออีก ตัวอย่าง 857-192 = ? มีวิธีคิดง่ายๆ คือ เปลี่ยนเป็น 857-200 = 657 แล้วบวกด้วย 8 ที่ลบเกินไป จะได้คำตอบ 665
สำหรับวิธีคูณก็คิดจากซ้ายไปขวาเช่นกัน
อาทิ 13x14=? ให้แยกเป็น (13x10)+(13x4) = 130+52 = 182
หรือ 68x49 ให้คิดเป็น 68x50 = 3,400 แล้วลบ 68 ที่คูณเกินมา หรือ 84x21 = ? ให้คิดเป็น 84x20=1,680 แล้วบวกด้วย 84 ที่ยังคูณไม่ครบ
มาถึงเลขยกกำลัง ชาครีย์ได้ยกตัวอย่างการยกกำลัง 2 โดยระบุว่า ให้ปัดตัวเลขเพื่อให้เหลือตัวคูณเพียง 1 หลัก
อาทิ 232 ซึ่งแยกได้เป็น 23x23 ให้ปัดตัวเลขขึ้น-ลงเป็น 26x20 = 520 แล้วบวกเข้ากับจำนวนยกกำลังสองของค่าที่ปัดขึ้น-ลง ซึ่งในตัวอย่างนี้คือ 32 จะได้คำตอบเป็น 529
อีกตัวอย่างคือ 782 ปัดได้เป็น (80x76) + 22 = 6,084
ส่วนการหารเลขยกกำลังนั้น ไม่แตกต่างจากที่วิธีคิดเดิมเท่าไหร่ เนื่องจากปกติเราหารจากซ้ายไปขวาอยู่แล้ว
ชาครีย์กล่าวกับทีมข่าววิทยาศาสตร์ว่า อานิสงส์จากการแปลหนังสือ ทำให้เขาได้เรียนรู้เทคนิคการคิดเลขในใจ ซึ่งวิธีที่ได้ประโยชน์มากคือการคำนวณเลขยกกำลัง ซึ่ง ดร.เบนจามินสอนวิธีคำนวณถึงเลข 5 หลัก แต่เขาทำได้ที่เลข 2-3 หลัก ซึ่งการคิดเลขในใจให้เร็วนั้นเขาบอกว่าต้องหมั่นฝึกฝนด้วย ซึ่งวิธีตามหนังสือที่เขาแปลนั้นช่วยได้
สำหรับ ดร.เบนจามินนั้น จบการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยจอห์น ฮอปกินส์ และปัจจุบันเป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยฮาร์วีย์ มัดด์ สหรัฐฯ ซึ่งนอกจากสอนหนังสือแล้ว ยังแสดงมายากลโดยนำเทคนิคทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการแสดงด้วย และได้รับยกย่องจากนิตยสารรีดเดอร์ ไดเจสต์ให้เป็น "พ่อมดคณิตศาสตร์อันดับหนึ่งของสหรัฐอเมริกา”
วันอังคารที่ 11 กันยายน พ.ศ. 2555
ความไร้รูปแบบของการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ
การหาจำนวนเฉพาะไม่ใช่เรื่องยาก หากจำนวนดังกล่าวยังอยู่ในวงจำนวนไม่เกินสองหลัก เช่น จำนวนเฉพาะห้าจำนวนต่อไปถัดจาก 2 คือ 3, 5, 7, 11 และ 13 ตามลำดับ จำนวนเฉพาะจำนวน ต่อไปถัดจาก 13 คือ 17 จำนวนเฉพาะจำนวนต่อไปถัดจาก 41 คือ 43 เป็นต้น อย่างไรก็ดี เมื่อพิจารณาเส้นจำนวนจะเห็นได้ว่า การกระจายของจำนวนเฉพาะบนเส้นจำนวนนั้นไม่มีรูปแบบที่แน่นอน บางทีเราพบจำนวนเฉพาะที่เกาะกลุ่มกัน เช่น 2, 3, 5, 7 แต่บางครั้งเราก็พบจำนวนเฉพาะที่ทิ้งช่วงห่างกัน เช่น 61, 71 นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีการที่จะได้มาซึ่งข้อสรุปเกี่ยวกับระยะห่าง ระหว่างจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดไปบนเส้นจำนวน
ประมาณปลายเดือนมีนาคม 2546 นี้เอง Dan Goldston จาก San Jose State University และ Cem Yalcin Yildrim จาก Bogazici University ประเทศตุรกี ได้นำเสนอบทพิสูจน์อันจะนำไปสู่คำตอบเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ และนำไปสู่การพิสูจน์ “Twin Prime Conjecture” ที่กล่าวไว้ว่า Twin Primes หรือ จำนวนเฉพาะคู่ที่มีผลต่างกันอยู่สองนั้นมีจำนวนมากมายไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั้งสองท่านได้นำเสนอผลงานดังกล่าว ณ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (American Institute of Mathematics) การค้นพบดังกล่าวเป็นที่กล่าวขวัญกันอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์
หนึ่งเดือนถัดมา Andrew Granville จาก Universite de Montreal และ K. Soundararajan จาก the University of Michigan ได้พบจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ของ Goldston และ Yildrim ว่าพจน์ที่กำหนดให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อน มีขนาดเดียวกับพจน์หลัก จึงทำให้บทพิสูจน์ดังกล่าวยังไม่ครบถ้วนสมบูรณ์
อย่างไรก็ดี สิ่งที่ Goldston และ Yildrim ได้ค้นพบนั้นทำให้การพิสูจน์ Twin Primes Conjecture เข้าใกล้ความจริงมากขึ้น นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างหวังว่าในที่สุด Goldston และYildrim เอง หรือนักคณิตศาสตร์ท่านอื่น ๆ จะสามารถแก้ไขจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ดังกล่าว และสามารถพิชิต Twin Primes Conjecture ซึ่งมีอายุกว่าร้อยปีและยังไม่มีใครพิสูจน์ได้เสียที
ตรวจสอบวิธีการตรวจความเป็นจำนวนเฉพาะ
สมมติมีคำถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะหรือเปล่า ? ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อยๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป มีวิธีคิดดังนี้คือ
ให้ n เป็นจำนวนนับใดๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)
1. สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ
2. จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว
3. ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n
4. นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b
5. โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)
6. สังเกตว่า a = รากที่สองของ a2 ≤ รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n
2. จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว
3. ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n
4. นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b
5. โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)
6. สังเกตว่า a = รากที่สองของ a2 ≤ รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n
สรุป ก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนประกอบแล้วจะต้องมีจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สอง ของ n ที่หาร a ลงตัว ถ้าไม่อย่างนั้น n ก็เป็นจำนวนเฉพาะ
วันจันทร์ที่ 10 กันยายน พ.ศ. 2555
ตรีโกณมิติคืออะไร ?
ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต แม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต
ประวัติตรีโกณมิติ
ประวัติตรีโกณมิติ
นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก
1. ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)
2. ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก
3. ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
สำหรับประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม (เพียร) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา
ตรีโกณมิติวันนี้
ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่างๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ (และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลึกศาสตร์
ประวัติตรีโกณมิติ
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีก รูปด้วย
1. ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)
2. ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก
3. ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง
สำหรับประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม (เพียร) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา
ตรีโกณมิติวันนี้
ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่างๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ (และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลึกศาสตร์
ประวัติตรีโกณมิติ
รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีก รูปด้วย
จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ 1/2 เรเดียน) ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ เรเดียน ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก
นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาสองรูปที่มีมุม A ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป มันจะเป็นจำนวนระหว่าง 0 ถึง 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม A เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ A และเขียนด้วย sin (A) ในทำนองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ A คืออัตราส่วนระหว่าง ด้านประชิดมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์
ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์
วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-ด้านประชิด)
ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง 1/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด
ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์
กฎเหล่านี้สามารถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน
นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ ที่มีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ
ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง 1/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด
ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์
กฎเหล่านี้สามารถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน
นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ ที่มีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ
โอริกามิกับคณิตศาสตร์
การพับกระดาษในยุคสมัยใหม่ คือ การพับกระดาษที่ไม่ยึดติดกับความเชื่อเก่าๆ และพร้อมที่จะกระโดดรับแนวความคิดใหม่ๆ จนถึงขั้นที่จะพับเป็นอะไรก็ได้ตามใจนึก มันถือกำเนิดขึ้นเมื่อประมาณ 30 ปีที่ผ่านมานี้เอง นักพับกระดาษเริ่มรู้ว่าเขาไม่จำเป็นต้องเริ่มด้วยการพับครึ่งตามแบบฉบับของโอริงามิแบบคลาสสิกอีกแล้ว การตัดกระดาษและการใช้กาวติดก็ลืมไปได้เลย ผลที่ได้คือโมเดลที่แปลกใหม่ ตระการตา และเหนือจินตนาการ มีการศึกษาโอริงามิอย่างจริงจังทั้งในเชิงคณิตศาสตร์ และวิศวกรรมกลศาสตร์ การพับกระดาษสามารถถอดสมการพหุนาม อธิบายตรีโกณมิติ และหาค่ารากที่สองของจำนวนจริงได้ ทั้งยังใช้ในการพับแผนที่ พับถุงลมนิรภัย บรรจุบะหมี่กึ่งสำเร็จรูป แม้กระทั่งเป็นต้นแบบให้กับการพับแผงเซลแสงอาทิตย์ของดาวเทียมที่ส่งขึ้นไปสู่อวกาศ ทุกวันนี้นักพับกระดาษบางคนได้คิดค้นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ในการออกแบบโอริงามิของพวกเขา จนเราสามารถพูดได้ว่าขอบเขตของโอริงามิไม่มีขีดจำกัดอีกแล้ว
การพับรูปทรงเรขาคณิต
ที่มา : http://kruamm.wordpress.com/knowledge/origami/ และ http://www.youtube.com/watch?v=6COfPF4aYr8&feature=relmfu
การเรียนคณิตศาสตร์แนว Why จากแดนโสม
ในสวนสัตว์มียีราฟและนกยูงรวมกัน 25 ตัว นับขาได้ 68 ขา จงแสดงว่ามียีราฟกี่ตัว ?
หากถามโจทย์คณิตศาสตร์นี้กับผู้ใหญ่ หลายคนคงเริ่มหยิบกระดาษดินสอ และแทนค่าสมการด้วยตัวแปร x และ y กันอย่างสนุกมือ แต่หากต้องการนำโจทย์นี้ไปถามกับเด็กประถม ผู้ใหญ่หลายคนอาจส่ายหน้าด้วยความคิดที่ว่า ยังเร็วเกินไปสำหรับการสอนเด็กในช่วงชั้นดังกล่าวให้รู้จักกับสมการ หรือตัวแปร x y z เพื่อไขคำตอบจากโจทย์ดังกล่าว
แต่เชื่อหรือไม่ว่า แม้ไม่รู้จักการแทนค่าตัวแปร x y z เด็กในประเทศที่มีอันดับคะแนนคณิตศาสตร์สูงเป็นอันดับหนึ่งของโลกอย่าง เกาหลีใต้ก็สามารถแก้โจทย์ดังกล่าวได้ตั้งแต่ชั้นประถม 3 !!!!
ข้อความข้างต้นไม่ใช่เรื่องเหลือเชื่อ หรือเกิดจากการเรียนที่หนักกว่าปกติของเด็กเกาหลี แต่เกิดจากรูปแบบการเรียนการสอนที่ให้เด็กคิดผ่านการตั้งคำถามของคุณครู ว่าต้องทำอย่างไรจึงจะหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้ได้ ผลที่ได้จากการสอนในลักษณะดังกล่าว นอกจากจะทำให้พบวิธีพัฒนาเด็กในด้านคณิตศาสตร์แล้ว ยังเป็นการปลุกศักยภาพในตัวของเด็กที่มีไม่จำกัดออกมาได้เป็นอย่างดี และยังทำให้ค้นพบว่าวิธีในการตอบโจทย์ดังกล่าวยังมีอีกมากมายนับสิบวิธี มีแม้กระทั่งใช้การวาดภาพเพื่อหาคำตอบ ซึ่งเป็นวิธีคิดง่ายๆ สไตล์เด็ก ป.3 นั่นเอง
เมื่อห้องเรียนเปิดโอกาสให้แสดงความคิดสร้างสรรค์ จึงไม่แปลกที่ความชอบและความถนัดด้านคณิตศาสตร์ของเด็กเกาหลีใต้จะถูกดึงออก มาใช้อย่างต่อเนื่อง และทำให้อันดับในการวัดผลทางด้านคณิตศาสตร์จากโครงการ PISA (Program for International Student Assessment) และโครงการศึกษานานาชาติ Trends in International Mathematics and Science Study หรือ TIMSSของเยาวชนเกาหลีใต้นั้นติดอันดับ 1 ของโลกมายาวนานนับ 10 ปี (สำหรับประเทศไทยอยู่ในอันดับที่ 33 จากทั้งหมด 40 อันดับ)
MGR Lite และ Life & Family มีโอกาสพบกับ มร.ปาร์ค มยุง จุน (Park Myung Jun) อดีตคุณครูคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นและพัฒนาหลักสูตรการเรียนการสอนคณิตศาสตร์แนว ใหม่ โดย มร.ปาร์คเล่าถึงประสบการณ์ในการสอนอันยาวนานซึ่งเป็นที่มาของหลักสูตร KingMath ที่เขาคิดค้นขึ้นว่า
"เทคนิคการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ ก็เหมือนกับ การจับปลา ปลาแต่ละชนิดมีวิธีจับมากกว่าหนึ่งวิธี โจทย์คณิตศาสตร์เองก็เช่นกัน อาจกล่าวได้ว่าการกระตุ้นให้เด็กคิด และมีส่วนร่วมในชั้นเรียนเป็นสิ่งสำคัญมาก สำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ เพราะเรามีโอกาสค้นพบเทคนิคใหม่ๆ การคิดใหม่ๆ ได้มากมาย เพียงแค่ครูให้คำชี้แนะกับเด็กว่าโจทย์รูปแบบนี้ควรจะต้องทำอย่างไร แล้วเด็กจะมีความคิดที่หลากหลายพรั่งหรูออกมา ซึ่งโดยปกติแล้ว หากเด็กทำได้ดี คุณครูควรมีรางวัลให้เด็กด้วย เพื่อช่วยจูงใจให้เด็กชอบคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น"
จากโจทย์ : ในสวนสัตว์มียีราฟและนกยูงรวมกัน 25 ตัว นับขาได้ 68 ขา จงแสดงว่ามียีราฟกี่ตัว?
วิธีคิดของเด็กประถม 3 : จึงอาจเป็นการวาดภาพนก 25 ตัว ซึ่งเด็กจะพบว่า ขาได้ถูกใช้ไปเพียง 50 ขาเท่านั้น (25 x 2) เหลือขาที่ยังไม่ได้ใช้อีกตั้ง 18 ขา (68 - 50) เด็กก็จะเอาขาที่เหลือนั้นไปใส่ให้กับนกทีละ 2 ขา เพื่อเปลี่ยนให้นกกลายเป็นยีราฟ เมื่อทำไปเรื่อยๆ เด็กก็พบว่ามีสัตว์อยู่ 9 ตัวที่มีขา 4 ข้าง ส่วนอีก 16 ตัวนั้นมีขา 2 ข้าง นั่นคือที่มาของคำตอบว่า มีนกยูง 16 ตัว และมียีราฟ 9 ตัว ในสวนสัตว์แห่งนี้
After School แปลกที่แตกต่าง
จากคำบอกเล่าของ มร.ปาร์ค ยังทำให้ทราบอีกด้วยว่า ค่านิยมด้านการเรียนวิชาต่างๆ ของครอบครัวชาวเกาหลีใต้มีสิ่งที่แตกต่างจากประเทศไทยหลายประการ หนึ่งในนั้นก็คือ การมีโรงเรียนในรูปแบบ After School สำหรับเด็กๆ ซึ่งอาจแตกต่างไปจากโรงเรียนกวดวิชาสไตล์ไทยๆ โดยโรงเรียนแนว After School นั้นเริ่มรับเด็กตั้งแต่ชั้นอนุบาล มีหลายวิชาให้เลือกเรียน ทั้งคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาเกาหลี ภาษาอังกฤษ ฯลฯ แต่การสอนจะใช้ภาษาที่เข้าใจง่าย และสอนเพื่อสร้างความเข้าใจในวิชานั้นๆ แต่จะไม่เน้นเรื่องเทคนิคการทำคะแนนให้ได้มากๆ เพื่อการสอบเข้า เช่น การตัดตัวเลือกที่ไม่น่าจะเป็นคำตอบของโจทย์ แบบที่โรงเรียนกวดวิชาบางแห่งนิยมฝึกเด็ก
ทั้งนี้ ต้นกำเนิดของโรงเรียนในรูปแบบ After School มาจากปัญหาในระบบการเรียนการสอน ที่ทุกประเทศต่างพบเจอนั่นก็คือ การที่ให้เด็กเก่งและเด็กไม่เก่งเรียนคละกัน
หากถามโจทย์คณิตศาสตร์นี้กับผู้ใหญ่ หลายคนคงเริ่มหยิบกระดาษดินสอ และแทนค่าสมการด้วยตัวแปร x และ y กันอย่างสนุกมือ แต่หากต้องการนำโจทย์นี้ไปถามกับเด็กประถม ผู้ใหญ่หลายคนอาจส่ายหน้าด้วยความคิดที่ว่า ยังเร็วเกินไปสำหรับการสอนเด็กในช่วงชั้นดังกล่าวให้รู้จักกับสมการ หรือตัวแปร x y z เพื่อไขคำตอบจากโจทย์ดังกล่าว
แต่เชื่อหรือไม่ว่า แม้ไม่รู้จักการแทนค่าตัวแปร x y z เด็กในประเทศที่มีอันดับคะแนนคณิตศาสตร์สูงเป็นอันดับหนึ่งของโลกอย่าง เกาหลีใต้ก็สามารถแก้โจทย์ดังกล่าวได้ตั้งแต่ชั้นประถม 3 !!!!
ข้อความข้างต้นไม่ใช่เรื่องเหลือเชื่อ หรือเกิดจากการเรียนที่หนักกว่าปกติของเด็กเกาหลี แต่เกิดจากรูปแบบการเรียนการสอนที่ให้เด็กคิดผ่านการตั้งคำถามของคุณครู ว่าต้องทำอย่างไรจึงจะหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้ได้ ผลที่ได้จากการสอนในลักษณะดังกล่าว นอกจากจะทำให้พบวิธีพัฒนาเด็กในด้านคณิตศาสตร์แล้ว ยังเป็นการปลุกศักยภาพในตัวของเด็กที่มีไม่จำกัดออกมาได้เป็นอย่างดี และยังทำให้ค้นพบว่าวิธีในการตอบโจทย์ดังกล่าวยังมีอีกมากมายนับสิบวิธี มีแม้กระทั่งใช้การวาดภาพเพื่อหาคำตอบ ซึ่งเป็นวิธีคิดง่ายๆ สไตล์เด็ก ป.3 นั่นเอง
เมื่อห้องเรียนเปิดโอกาสให้แสดงความคิดสร้างสรรค์ จึงไม่แปลกที่ความชอบและความถนัดด้านคณิตศาสตร์ของเด็กเกาหลีใต้จะถูกดึงออก มาใช้อย่างต่อเนื่อง และทำให้อันดับในการวัดผลทางด้านคณิตศาสตร์จากโครงการ PISA (Program for International Student Assessment) และโครงการศึกษานานาชาติ Trends in International Mathematics and Science Study หรือ TIMSSของเยาวชนเกาหลีใต้นั้นติดอันดับ 1 ของโลกมายาวนานนับ 10 ปี (สำหรับประเทศไทยอยู่ในอันดับที่ 33 จากทั้งหมด 40 อันดับ)
MGR Lite และ Life & Family มีโอกาสพบกับ มร.ปาร์ค มยุง จุน (Park Myung Jun) อดีตคุณครูคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นและพัฒนาหลักสูตรการเรียนการสอนคณิตศาสตร์แนว ใหม่ โดย มร.ปาร์คเล่าถึงประสบการณ์ในการสอนอันยาวนานซึ่งเป็นที่มาของหลักสูตร KingMath ที่เขาคิดค้นขึ้นว่า
"เทคนิคการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ ก็เหมือนกับ การจับปลา ปลาแต่ละชนิดมีวิธีจับมากกว่าหนึ่งวิธี โจทย์คณิตศาสตร์เองก็เช่นกัน อาจกล่าวได้ว่าการกระตุ้นให้เด็กคิด และมีส่วนร่วมในชั้นเรียนเป็นสิ่งสำคัญมาก สำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ เพราะเรามีโอกาสค้นพบเทคนิคใหม่ๆ การคิดใหม่ๆ ได้มากมาย เพียงแค่ครูให้คำชี้แนะกับเด็กว่าโจทย์รูปแบบนี้ควรจะต้องทำอย่างไร แล้วเด็กจะมีความคิดที่หลากหลายพรั่งหรูออกมา ซึ่งโดยปกติแล้ว หากเด็กทำได้ดี คุณครูควรมีรางวัลให้เด็กด้วย เพื่อช่วยจูงใจให้เด็กชอบคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น"
จากโจทย์ : ในสวนสัตว์มียีราฟและนกยูงรวมกัน 25 ตัว นับขาได้ 68 ขา จงแสดงว่ามียีราฟกี่ตัว?
วิธีคิดของเด็กประถม 3 : จึงอาจเป็นการวาดภาพนก 25 ตัว ซึ่งเด็กจะพบว่า ขาได้ถูกใช้ไปเพียง 50 ขาเท่านั้น (25 x 2) เหลือขาที่ยังไม่ได้ใช้อีกตั้ง 18 ขา (68 - 50) เด็กก็จะเอาขาที่เหลือนั้นไปใส่ให้กับนกทีละ 2 ขา เพื่อเปลี่ยนให้นกกลายเป็นยีราฟ เมื่อทำไปเรื่อยๆ เด็กก็พบว่ามีสัตว์อยู่ 9 ตัวที่มีขา 4 ข้าง ส่วนอีก 16 ตัวนั้นมีขา 2 ข้าง นั่นคือที่มาของคำตอบว่า มีนกยูง 16 ตัว และมียีราฟ 9 ตัว ในสวนสัตว์แห่งนี้
After School แปลกที่แตกต่าง
จากคำบอกเล่าของ มร.ปาร์ค ยังทำให้ทราบอีกด้วยว่า ค่านิยมด้านการเรียนวิชาต่างๆ ของครอบครัวชาวเกาหลีใต้มีสิ่งที่แตกต่างจากประเทศไทยหลายประการ หนึ่งในนั้นก็คือ การมีโรงเรียนในรูปแบบ After School สำหรับเด็กๆ ซึ่งอาจแตกต่างไปจากโรงเรียนกวดวิชาสไตล์ไทยๆ โดยโรงเรียนแนว After School นั้นเริ่มรับเด็กตั้งแต่ชั้นอนุบาล มีหลายวิชาให้เลือกเรียน ทั้งคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาเกาหลี ภาษาอังกฤษ ฯลฯ แต่การสอนจะใช้ภาษาที่เข้าใจง่าย และสอนเพื่อสร้างความเข้าใจในวิชานั้นๆ แต่จะไม่เน้นเรื่องเทคนิคการทำคะแนนให้ได้มากๆ เพื่อการสอบเข้า เช่น การตัดตัวเลือกที่ไม่น่าจะเป็นคำตอบของโจทย์ แบบที่โรงเรียนกวดวิชาบางแห่งนิยมฝึกเด็ก
ทั้งนี้ ต้นกำเนิดของโรงเรียนในรูปแบบ After School มาจากปัญหาในระบบการเรียนการสอน ที่ทุกประเทศต่างพบเจอนั่นก็คือ การที่ให้เด็กเก่งและเด็กไม่เก่งเรียนคละกัน
"เด็ก อ่อนต้องเรียนร่วมกับเด็กเก่ง ดังนั้น หากคุณครูสอนไว เด็กที่เข้าใจช้าก็จะตามไม่ทัน แต่ถ้าสอนช้า เด็กที่หัวไวก็จะเบื่อ เพราะเรียนไม่สนุก นอกจากนั้น ในการเรียนคณิตศาสตร์ (รวมถึงการเรียนในทุกวิชา) ยังขาดระบบประเมินผลเด็กว่ามีจุดอ่อนในด้านใด ครูและผู้ปกครองอาจทราบแค่เพียงว่าเด็กคนนี้อ่อนคณิตศาสตร์ แต่อ่อนตรงไหน อย่างไร ไม่มีใครทราบ ดังนั้นจึงไม่สามาถแก้ไขปัญหาให้เด็กได้อย่างถูกจุด"
โรงเรียนแนว After School จึงเข้ามารับปัญหานี้ไปแก้ไข โดยการจัดการสอนสำหรับเด็กตามกลุ่มความสามารถ เด็กเก่งได้เรียนเทคนิคแนวคิดใหม่ๆ เด็กเรียนช้าได้มีเวลาปูพื้นฐานให้แน่น และมีการจัดทำระบบประเมินผลเด็ก หาจุดอ่อนของเด็กเพื่อทำการแก้ไข
"เพราะเด็กๆ มีความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน จึงควรมีการประเมินความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ และจัดบทเรียนให้เหมาะสมกับระดับความรู้ เมื่อเริ่มต้นเรียนคณิตศาสตร์อาจเริ่มต้นจากการเรียนทฤษฎี การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ฝึกความแม่นยำ และนำมาประเมินความสามารถเพื่อวิเคราะห์จุดอ่อนจุดแข็งของเด็ก" มร.ปาร์คกล่าว
คณิตศาสตร์แนว Why ?
อย่างไรก็ดี ปัญหาที่เกิดขึ้นทั่วโลกเกี่ยวกับการเรียนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันยังมีอยู่ อย่างต่อเนื่อง โดยปัญหาหลักที่พบยังคงเป็นเรื่องของจำนวนเด็กๆ ที่ไม่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์มีเพิ่มขึ้น ซึ่งปัญหาเหล่านี้ส่งผลกระทบต่อการพัฒนาศาสตร์ต่างๆ ของโลก โดยเฉพาะศาสตร์บางแขนงที่มีวิชาคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐาน เช่น วิศวกรรมศาสตร์ แพทยศาสตร์ วิทยาศาสตร์ การขาดบุคลากรจึงทำให้การต่อยอดความรู้ในสาขาต่างๆ ต้องน้อยลงตามไปด้วย ซึ่งสาเหตุที่ทำให้เด็กรุ่นใหม่เมินคณิตศาสตร์นอกจากจะเกิดขึ้นจากการเรียน คละกันตามที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว อีกส่วนหนึ่งยังเกิดจาก "ความไม่เข้าใจ" ถึงความจำเป็นในการเรียนคณิตศาสตร์ด้วย
"สิ่งที่ผิดพลาดของการเรียนคณิตศาสตร์ในอดีตอาจเป็น เรื่องของการใช้คำถาม What ? ไปถามเด็ก ปฏิบัติกับเด็กเป็นเหมือนเครื่องมือหรืออุปกรณ์อย่างหนึ่งในการหาคำตอบออกมา แต่แนวทางในการสอนคณิตศาสตร์ของเราที่คิดค้นขึ้นและใช้สอนกับเด็กๆ ในเกาหลีใต้ก็คือ เราจะไม่ถามคำถาม What ? กับเด็ก เพราะคำถาม What ? เราสามารถหาคำตอบได้จากเครื่องคิดเลข คอมพิวเตอร์ เนื่องจากอุปกรณ์เหล่านี้ถูกออกแบบมาให้ตอบคำถาม What ?"
"สิ่งที่เราจะถามกับเด็กคือ Why ? เห็นได้จากโจทย์คณิตศาสตร์ของเราคือ Why ? เด็กมีโอกาสได้คิดถึงกระบวนการในการหาคำตอบ ได้มีการเชื่อมโยงข้อมูลต่างๆ เข้าด้วยกัน ได้คิด วิเคราะห์ หาเหตุผลมาตอบคำถาม ซึ่งจุดนี้เป็นสิ่งที่เครื่องจักรทำไม่ได้"
ซึ่งก่อนจะจากกัน มร.ปาร์คได้กล่าวถึงความสำเร็จของเกาหลีใต้ในอุตสาหกรรมโลกเอาไว้ประการหนึ่ง มีใจความว่า
"เกาหลีใต้มีบริษัทอย่างแอลจี ซัมซุง เพราะเรามีทรัพยากรมนุษย์ที่มีความรู้ความสามารถ ซึ่งรากฐานของการก่อตั้งบริษัทที่ผลิตสินค้าเทคโนโลยีเหล่านี้ล้วนแล้วต้อง อาศัยความเข้าใจเรื่องคณิตศาสตร์ หากเยาวชนในประเทศมีพื้นฐานทางด้านคณิตศาสตร์ดี มีความเข้าใจ ก็จะทำให้เกิดวิศวกรที่ดีตามมา และสามารถพัฒนาเทคโนโลยีขั้นสูงเหล่านี้ได้"
โรงเรียนแนว After School จึงเข้ามารับปัญหานี้ไปแก้ไข โดยการจัดการสอนสำหรับเด็กตามกลุ่มความสามารถ เด็กเก่งได้เรียนเทคนิคแนวคิดใหม่ๆ เด็กเรียนช้าได้มีเวลาปูพื้นฐานให้แน่น และมีการจัดทำระบบประเมินผลเด็ก หาจุดอ่อนของเด็กเพื่อทำการแก้ไข
"เพราะเด็กๆ มีความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน จึงควรมีการประเมินความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ และจัดบทเรียนให้เหมาะสมกับระดับความรู้ เมื่อเริ่มต้นเรียนคณิตศาสตร์อาจเริ่มต้นจากการเรียนทฤษฎี การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ฝึกความแม่นยำ และนำมาประเมินความสามารถเพื่อวิเคราะห์จุดอ่อนจุดแข็งของเด็ก" มร.ปาร์คกล่าว
คณิตศาสตร์แนว Why ?
อย่างไรก็ดี ปัญหาที่เกิดขึ้นทั่วโลกเกี่ยวกับการเรียนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันยังมีอยู่ อย่างต่อเนื่อง โดยปัญหาหลักที่พบยังคงเป็นเรื่องของจำนวนเด็กๆ ที่ไม่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์มีเพิ่มขึ้น ซึ่งปัญหาเหล่านี้ส่งผลกระทบต่อการพัฒนาศาสตร์ต่างๆ ของโลก โดยเฉพาะศาสตร์บางแขนงที่มีวิชาคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐาน เช่น วิศวกรรมศาสตร์ แพทยศาสตร์ วิทยาศาสตร์ การขาดบุคลากรจึงทำให้การต่อยอดความรู้ในสาขาต่างๆ ต้องน้อยลงตามไปด้วย ซึ่งสาเหตุที่ทำให้เด็กรุ่นใหม่เมินคณิตศาสตร์นอกจากจะเกิดขึ้นจากการเรียน คละกันตามที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว อีกส่วนหนึ่งยังเกิดจาก "ความไม่เข้าใจ" ถึงความจำเป็นในการเรียนคณิตศาสตร์ด้วย
"สิ่งที่ผิดพลาดของการเรียนคณิตศาสตร์ในอดีตอาจเป็น เรื่องของการใช้คำถาม What ? ไปถามเด็ก ปฏิบัติกับเด็กเป็นเหมือนเครื่องมือหรืออุปกรณ์อย่างหนึ่งในการหาคำตอบออกมา แต่แนวทางในการสอนคณิตศาสตร์ของเราที่คิดค้นขึ้นและใช้สอนกับเด็กๆ ในเกาหลีใต้ก็คือ เราจะไม่ถามคำถาม What ? กับเด็ก เพราะคำถาม What ? เราสามารถหาคำตอบได้จากเครื่องคิดเลข คอมพิวเตอร์ เนื่องจากอุปกรณ์เหล่านี้ถูกออกแบบมาให้ตอบคำถาม What ?"
"สิ่งที่เราจะถามกับเด็กคือ Why ? เห็นได้จากโจทย์คณิตศาสตร์ของเราคือ Why ? เด็กมีโอกาสได้คิดถึงกระบวนการในการหาคำตอบ ได้มีการเชื่อมโยงข้อมูลต่างๆ เข้าด้วยกัน ได้คิด วิเคราะห์ หาเหตุผลมาตอบคำถาม ซึ่งจุดนี้เป็นสิ่งที่เครื่องจักรทำไม่ได้"
ซึ่งก่อนจะจากกัน มร.ปาร์คได้กล่าวถึงความสำเร็จของเกาหลีใต้ในอุตสาหกรรมโลกเอาไว้ประการหนึ่ง มีใจความว่า
"เกาหลีใต้มีบริษัทอย่างแอลจี ซัมซุง เพราะเรามีทรัพยากรมนุษย์ที่มีความรู้ความสามารถ ซึ่งรากฐานของการก่อตั้งบริษัทที่ผลิตสินค้าเทคโนโลยีเหล่านี้ล้วนแล้วต้อง อาศัยความเข้าใจเรื่องคณิตศาสตร์ หากเยาวชนในประเทศมีพื้นฐานทางด้านคณิตศาสตร์ดี มีความเข้าใจ ก็จะทำให้เกิดวิศวกรที่ดีตามมา และสามารถพัฒนาเทคโนโลยีขั้นสูงเหล่านี้ได้"
สมัครสมาชิก:
บทความ (Atom)