วันพุธที่ 12 กันยายน พ.ศ. 2555

มหัศจรรย์แห่งการคูณและการบวก

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321
--------------------------------------------------------------------------------
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

--------------------------------------------------------------------------------
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

--------------------------------------------------------------------------------
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

--------------------------------------------------------------------------------

20 = 10 + 10 --------- 10 x 10 = 100
20 = 11 + 9 ----------- 11 x 9 = 99 ห่างจากข้างบน 1
20 = 12 + 8 ----------- 12 x 8 = 96 ห่างจากข้างบน 3
20 = 13 + 7 ----------- 13 x 7 = 91 ห่างจากข้างบน 5
20 = 14 + 6 ----------- 14 x 6 = 84 ห่างจากข้างบน 7
20 = 15 + 5 ----------- 15 x 5 = 75 ห่างจากข้างบน 9
20 = 16 + 4 ----------- 16 x 4 = 64 ห่างจากข้างบน 11
20 = 17 + 3 ----------- 17 x 3 = 51 ห่างจากข้างบน 13
20 = 18 + 2 ----------- 18 x 2 = 36 ห่างจากข้างบน 15
20 = 19 + 1 ----------- 19 x 1 = 19 ห่างจากข้างบน 17
20 = 20 + 0 ----------- 20 x 0 = 0 ห่างจากข้างบน 19

ที่มา : http://www.oknation.net/blog/ironic/2007/07/24/entry-1

ทำไม…อะไร เกี่ยวกับคณิตศาสตร์

ทำไม…การหารจึงใช้เครื่องหมาย ÷

สัญลักษณ์ ÷ ได้ถูกนำมาใช้โดย จอห์น วอลลิส ( John Wallis 1616 – 1703 )ในประเทศอังกฤษและสหรัฐอเมริกา แต่ไม่แพร่หลายในทวีปยุโรป เพราะใช้เครื่องหมายโครอน( : )กันจนชินแล้ว

ในปี 1923 คณะกรรมการแห่งชาติเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ในสหรัฐอเมริกากล่าวว่าเครื่องหมายหาร (÷)และเครื่องหมายโครอน( : ) ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในชีวิตธุรกิจ แต่ใช้ในวิชาพีชคณิตเท่านั้น จึงได้มีการนำเครื่องหมายเศษส่วน( / )มาใช้แทนเครื่องหมายหาร (÷)

อ้างอิงจากรายงาน National Committee on Mathematical Requirement ของ Mathematical Association of America,Inc( 1923,P 81 )

เครื่องหมาย ´ มีกี่แบบ

คำว่า Multiply มาจากคำว่า Multiplicare เป็นภาษาละติน ซึ่งหมายถึง การมีค่าเพิ่มมากขึ้นเป็นทวีคูณ นักคณิตศษสตร์ Oughtred เป็นคนคิดเครื่องหมายคูณเป็นรูป ´ ในปี1631 ต่อมา Harriot แนะนำให้ใช้เครื่องหมายจุด . ในปีเดียวกัน

ในปี ค.ศ. 1698 Leibniz เขียนถึง Bernoulli ว่า “ ฉันใช้ ´ เป็นสัญลักษณ์ในการคูณ มันสับสนกับตัวX บ่อยครั้ง ฉันจึงใช้สัญลักษณ์ง่ายๆ คือ . (จุด) ”

ปัจจุบันนี้การคูณใช้เครื่องหมาย 3 แบบได้แก่ 3´a หรือ 3.a หรือ (3)a หรือการวางชิดกันคือ 3a

ทำไม…การบวกจึงใช้เครื่องหมาย +

ว่าบวกมาจากภาษาละตินว่า adhere ซึ่งหมายความว่า “ ใส่เข้าไป ” Widman เป็นคนแรกที่คิดใช้เครื่องหมาย “ + ” และ “ - ” ในปี 1489 เขากล่าวว่า “ - คือ minus และ + คือ more เชื่อกันว่าสัญลักษณ์ “ + ” มาจากภาษาละติน et แปลว่า “ และ ”

ที่มา : http://www.physics2u.org/index.php?option=com_content&view=article&id=66:2010-02-06-07-30-37&catid=42:2010-02-03-08-57-52&Itemid=63

การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

ความสำคัญของการแก้ปัญหา

        การแก้ปัญหาเป็นหัวใจของคณิตศาสตร์ ( Lester , 1977 : 12 )   มีความสำคัญ
เหมาะที่จะใช้ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เพราะการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
ช่วยให้นักเรียนพัฒนาศักยภาพในการวิเคราะห์   และเป็นเครื่องช่วยให้ประยุกต์ศักยภาพ
เหล่านั้นไปสู่สถานการณ์ใหม่
        การแก้ปัญหาช่วยให้นักเรียนเรียนรู้ข้อเท็จจริง ทักษะ ความคิดรวบยอดและหลักการ
ต่างๆความสำเร็จในการแก้ปัญหาจะทำให้เกิดการพัฒนาคุณลักษณะของนักเรียนที่ต้องการ
เช่น ความใฝ่รู้
        ในการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ เนื้อหาทุกเรื่องในหลักสูตร ส่วนใหญ่จะมีวิธี
การนำเสนอความรู้โดยการใช้คำถามหรือตั้งปัญหาที่มีข้อความหรือสถานการณ์ ที่เราเรียกว่า
“ โจทย์ปัญหา ”   เพื่อให้นักเรียนได้ฝึกแก้โจทย์ปัญหาต่างๆ รวมทั้งฝึกฝนคิดค้นวิธีการ
แสวงหาคำตอบของโจทย์ปัญหานั้นด้วยตนเอง
        การจัดการเรียนการสอนเกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหา มุ่งเน้นนักเรียนเป็นสำคัญ เน้น
การฝึกให้นักเรียนมีวิธีการที่ดี ในการแก้ปัญหา   มากกว่าที่จะสอนให้นักเรียนรู้คำตอบของ
ปัญหา โดยพยายามส่งเสริมให้นักเรียนค้นพบรูปแบบหรือวิธีการแก้ปัญหาด้วยตนเอง
นี่คือ การเน้นทักษะกระบวนการคิดของนักเรียนนั่นเอง

ปัญหาทางคณิตศาสตร์

        ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นสถานการณ์หรือคำถามที่มีเนื้อหาสาระ กระบวนการ หรือ
ความรู้ที่ผู้เรียนไม่คุ้นเคยมาก่อน และไม่สามารถหาคำตอบได้ทันที การหาคำตอบจะต้อง
ใช้ความรู้และประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์และศาสตร์อื่นๆ ประกอบกับความสามารถด้าน
การวิเคราะห์ การสังเคราะห์ และการตัดสินใจ
        ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ดี  ควรมีลักษณะดังนี้
            1. สถานการณ์ของปัญหาและความยากง่ายต้องเหมาะสมกับวัยของผู้เรียน
            2. ให้ข้อมูลอย่างเพียงพอที่จะใช้ในการพิจารณาแก้ปัญหาได้
            3. ภาษาที่ใช้มีความชัดเจน รัดกุม และเข้าใจได้ง่าย
            4. หาคำตอบได้หลายวิธี และอาจแก้ปัญหาโดยใช้วิธีการต่างๆ เช่น การเขียน
                แผนภาพการจัดทำตาราง หรือการสร้างสมการ
            5. มีความท้าทายต่อความสามารถและช่วยกระตุ้นให้เกิดการพัฒนาการเรียนรู้
               ของผู้เรียน

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหา ( Preblem Solving Strategies ) มีหลายรูปแบบ เช่น

การเขียนแผนผัง หรือ ภาพประกอบ

การทำตาราง หรือ กราฟ

การสร้างรูปแบบ

การทำปัญหาให้ง่ายลง

การเขียนเป็นประโยคทางคณิตศาสตร์

การหารูปแบบ

การเดาและตรวจสอบ

การทำย้อนกลับ

การแจกแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ที่มา : http://www.physics2u.org/index.php?option=com_content&view=article&id=316:2010-02-18-08-55-37&catid=42:2010-02-03-08-57-52&Itemid=63

เทคนิค คิดเลขเร็ว พ่อมดคณิตศาสตร์

ให้ลองคิดเลขในใจ แค่บวก-ลบ ยังทำให้หลายคนกุมขมับ ถ้าต้องคูณ หาร แถมยกกำลังด้วย คงต้องหบิยเครื่องคิดเลขมากดกันใหญ่ แต่ถ้าได้เรียนรู้เทคนิค "คิดในใจ" ตามเคล็ดลับ "พ่อมดคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา” แล้ว หลายคนคงเก็บเครื่องคิดเลขลงลิ้นชักแน่ๆ

ชาครีย์ เพชรพิเชษฐเชียร

       ชาครีย์ เพชรพิเชษฐเชียร นิสิตปี 4 ภาควิชาวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์ เผยถึงการคิดเลขในใจที่ทำได้เร็วกว่าเครื่องคิดเลข จากเคล็ดลับในหนังสือ "กดเครื่องคิดเลขทำไม ในเมื่อคิดในใจได้เร็วกว่า" ผลงานเขียนของ ดร.อาเธอร์ เบนจามิน (Arthur Benjamin) ซึ่งเขาได้ร่วมแปลกับ พูนลาภ อุทัยเลิศอรุณ ว่าผู้เขียนเทคนิคการคิดเลขได้ตั้งข้อสังเกต คนเรามักทำอะไรจาก ซ้ายไปขวา แต่เรากลับคิดเลขจากขวาไปซ้าย ผู้เขียนจึงเสนอวิธีคิดเลขจากซ้ายไปขวาบ้าง


       ตัวอย่างการบวกเลข 2 หลัก

       95+38 = ?

       วิธีคิดในใจคือ แยกตัวเลขเป็น 2 กลุ่ม คือ (90+30) และ (5+8) แล้วนำมารวมกัน ได้ 133


       ตัวอย่างการบวกเลข 3 หลัก

       763+854=?


       วิธีคิดในใจคือ 800+700 =1,500 แล้วบวก 60+50 ได้ 1,610 แล้วนำไปบวกกับ 3+4 ที่เหลือ ได้คำตอบของโจทย์นี้เท่ากับ 1,617

       ส่วนวิธีลบ ชาครีย์บอกว่า น่าจะเป็นวิธีที่คนทั่วไปไม่รู้ เพราะปกติเราจะตัวเลขตั้งแล้วลบ แต่วิธีของ ดร.เบนจามินคือ เปลี่ยนจากตัวเลขลบเป็นบวก (complement)

       เช่น -23 มี complement เป็น 77

       ตัวอย่างคือ 138-68 ให้เปลี่ยนเป็น (138+32) – 100 จะคิดได้ง่ายกว่า

       หรืออีก ตัวอย่าง 857-192 = ? มีวิธีคิดง่ายๆ คือ เปลี่ยนเป็น 857-200 = 657 แล้วบวกด้วย 8 ที่ลบเกินไป จะได้คำตอบ 665

       สำหรับวิธีคูณก็คิดจากซ้ายไปขวาเช่นกัน

       อาทิ 13x14=? ให้แยกเป็น (13x10)+(13x4) = 130+52 = 182

       หรือ 68x49 ให้คิดเป็น 68x50 = 3,400 แล้วลบ 68 ที่คูณเกินมา หรือ 84x21 = ? ให้คิดเป็น 84x20=1,680 แล้วบวกด้วย 84 ที่ยังคูณไม่ครบ

       มาถึงเลขยกกำลัง ชาครีย์ได้ยกตัวอย่างการยกกำลัง 2 โดยระบุว่า ให้ปัดตัวเลขเพื่อให้เหลือตัวคูณเพียง 1 หลัก

       อาทิ 23² ซึ่งแยกได้เป็น 23x23 ให้ปัดตัวเลขขึ้น-ลงเป็น 26x20 = 520 แล้วบวกเข้ากับจำนวนยกกำลังสองของค่าที่ปัดขึ้น-ลง ซึ่งในตัวอย่างนี้คือ 3² จะได้คำตอบเป็น 529

       อีกตัวอย่างคือ 78² ปัดได้เป็น (80x76) + 2² = 6,084

       ส่วนการหารเลขยกกำลังนั้น ไม่แตกต่างจากที่วิธีคิดเดิมเท่าไหร่ เนื่องจากปกติเราหารจากซ้ายไปขวาอยู่แล้ว

       ชาครีย์กล่าวกับทีมข่าววิทยาศาสตร์ว่า อานิสงส์จากการแปลหนังสือ ทำให้เขาได้เรียนรู้เทคนิคการคิดเลขในใจ ซึ่งวิธีที่ได้ประโยชน์มากคือการคำนวณเลขยกกำลัง ซึ่ง ดร.เบนจามินสอนวิธีคำนวณถึงเลข 5 หลัก แต่เขาทำได้ที่เลข 2-3 หลัก ซึ่งการคิดเลขในใจให้เร็วนั้นเขาบอกว่าต้องหมั่นฝึกฝนด้วย ซึ่งวิธีตามหนังสือที่เขาแปลนั้นช่วยได้

       สำหรับ ดร.เบนจามินนั้น จบการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยจอห์น ฮอปกินส์ และปัจจุบันเป็นศาสตราจารย์คณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยฮาร์วีย์ มัดด์ สหรัฐฯ ซึ่งนอกจากสอนหนังสือแล้ว ยังแสดงมายากลโดยนำเทคนิคทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการแสดงด้วย และได้รับยกย่องจากนิตยสารรีดเดอร์ ไดเจสต์ให้เป็น "พ่อมดคณิตศาสตร์อันดับหนึ่งของสหรัฐอเมริกา”

ที่มา : http://blog.eduzones.com/jipatar/21350

วันอังคารที่ 11 กันยายน พ.ศ. 2555

ความไร้รูปแบบของการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ

การหาจำนวนเฉพาะไม่ใช่เรื่องยาก หากจำนวนดังกล่าวยังอยู่ในวงจำนวนไม่เกินสองหลัก เช่น จำนวนเฉพาะห้าจำนวนต่อไปถัดจาก 2 คือ 3, 5, 7, 11 และ 13 ตามลำดับ จำนวนเฉพาะจำนวน ต่อไปถัดจาก 13 คือ 17 จำนวนเฉพาะจำนวนต่อไปถัดจาก 41 คือ 43 เป็นต้น อย่างไรก็ดี เมื่อพิจารณาเส้นจำนวนจะเห็นได้ว่า การกระจายของจำนวนเฉพาะบนเส้นจำนวนนั้นไม่มีรูปแบบที่แน่นอน บางทีเราพบจำนวนเฉพาะที่เกาะกลุ่มกัน เช่น 2, 3, 5, 7 แต่บางครั้งเราก็พบจำนวนเฉพาะที่ทิ้งช่วงห่างกัน เช่น 61, 71 นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีการที่จะได้มาซึ่งข้อสรุปเกี่ยวกับระยะห่าง ระหว่างจำนวนเฉพาะ p และจำนวนเฉพาะที่อยู่ถัดไปบนเส้นจำนวน

ประมาณปลายเดือนมีนาคม 2546 นี้เอง Dan Goldston จาก San Jose State University และ Cem Yalcin Yildrim จาก Bogazici University ประเทศตุรกี ได้นำเสนอบทพิสูจน์อันจะนำไปสู่คำตอบเกี่ยวกับระยะห่างระหว่างจำนวนเฉพาะ และนำไปสู่การพิสูจน์ “Twin Prime Conjecture” ที่กล่าวไว้ว่า Twin Primes หรือ จำนวนเฉพาะคู่ที่มีผลต่างกันอยู่สองนั้นมีจำนวนมากมายไม่มีที่สิ้นสุด นักคณิตศาสตร์ทั้งสองท่านได้นำเสนอผลงานดังกล่าว ณ สถาบันคณิตศาสตร์อเมริกัน (American Institute of Mathematics) การค้นพบดังกล่าวเป็นที่กล่าวขวัญกันอย่างมากในวงการคณิตศาสตร์

หนึ่งเดือนถัดมา Andrew Granville จาก Universite de Montreal และ K. Soundararajan จาก the University of Michigan ได้พบจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ของ Goldston และ Yildrim ว่าพจน์ที่กำหนดให้เป็นค่าความคลาดเคลื่อน มีขนาดเดียวกับพจน์หลัก จึงทำให้บทพิสูจน์ดังกล่าวยังไม่ครบถ้วนสมบูรณ์

อย่างไรก็ดี สิ่งที่ Goldston และ Yildrim ได้ค้นพบนั้นทำให้การพิสูจน์ Twin Primes Conjecture เข้าใกล้ความจริงมากขึ้น นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างหวังว่าในที่สุด Goldston และYildrim เอง หรือนักคณิตศาสตร์ท่านอื่น ๆ จะสามารถแก้ไขจุดบกพร่องในบทพิสูจน์ดังกล่าว และสามารถพิชิต Twin Primes Conjecture ซึ่งมีอายุกว่าร้อยปีและยังไม่มีใครพิสูจน์ได้เสียที

ตรวจสอบวิธีการตรวจความเป็นจำนวนเฉพาะ

สมมติมีคำถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะหรือเปล่า ? ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อยๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป มีวิธีคิดดังนี้คือ

ให้ n เป็นจำนวนนับใดๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)

1. สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

2. จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

3. ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

4. นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

5. โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

6. สังเกตว่า a = รากที่สองของ a2 ≤ รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n

สรุป ก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนประกอบแล้วจะต้องมีจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับรากที่สอง ของ n ที่หาร a ลงตัว ถ้าไม่อย่างนั้น n ก็เป็นจำนวนเฉพาะ

ที่มา : http://scimath.org/index.php/matharticle/item/1907-the-free-form-of-the-distribution-of-prime-numbers

วันจันทร์ที่ 10 กันยายน พ.ศ. 2555

ตรีโกณมิติคืออะไร ?

ตรีโกณมิติ (จากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด) เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับมุม, รูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ไซน์ และ โคไซน์ มีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิต แม้ว่าจะสรุปไม่ได้อย่างแน่ชัดว่า ตรีโกณมิติเป็นหัวข้อย่อยของเรขาคณิต

ประวัติตรีโกณมิติ

นักคณิตศาสตร์มุสลิมในยุคกลาง (หรือยุคมืด ตามคำเรียกของชาวยุโรป) มีส่วนเป็นอย่างมากในการพัฒนาและอุทิศผลงานในคณิตศาสตร์สาขาตรีโกณมิติ โดยพวกเขาได้รับแนวคิดพื้นฐานมาจาก
1. ตำราคณิตศาสตร์อินเดียที่ชื่อ Sūrya Siddhānta (สูรยสิทธานตะ)

2. ตำราอัลมาเกส (เป็นภาษาอาหรับแปลว่ายิ่งใหญ่ที่สุด แสดงให้เห็นว่านักคณิตศาสตร์อาหรับยกย่องหนังสือเล่มนี้มาก) ของทอเลมีนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงชาวกรีก

3. ตำราสเฟียริก ของเมเนลาอุสนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเช่นกัน

อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่านักคณิตศาสตร์กรีกและอินเดียจะมีบทบาทในการพัฒนาตรีโกณมิติ แต่ทว่านักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์หลายท่าน ได้ให้เกียรตินักคณิตศาสตร์อาหรับว่า เป็นผู้พัฒนาความรู้ในสาขานี้อย่างแท้จริง

สำหรับประเทศไทยนั้น ก็มีศาสตร์ตรีโกณมิติเข้ามาตั้งแต่สมัยสุโขทัย ผ่านทางคัมภีร์ สุริยยาตร์ สำหรับคำนวณหาตำแหน่งพระอาทิตย์และพระจันทร์ และปรากฏการณ์ข้างขึ้นข้างแรม (เพียร) โดยปรากฏตาราง SINE ทุกๆ มุม 15 องศา เรียกว่า ตารางฉายา ส่วน COSINE จะใช้หลักการเทียบจากตารางฉายา เรียกว่า โกฏิฉายา

ตรีโกณมิติวันนี้

ปัจจุบัน มีการนำตรีโกณมิติไปใช้ในงานสาขาต่างๆ เช่น เป็นเทคนิคในการสร้างรูปสามเหลี่ยม ซึ่งใช้ในวิชาดาราศาสตร์เพื่อวัดระยะทางของดาวที่อยู่ใกล้ ในภูมิศาสตร์ใช้วัดระยะทางระหว่างหลักเขตที่ดิน และใช้ในดาวเทียมนำทาง งานที่มีการใช้ประโยชน์จากตรีโกณมิติ ได้แก่ ดาราศาสตร์ (และการนำทางในมหาสมุทร บนเครื่องบิน และในอวกาศ) ,ทฤษฎีดนตรี, สวนศาสตร์, ทัศนศาสตร์, การวิเคราะห์ตลาดการเงิน, อิเล็กทรอนิกส์, ทฤษฎีความน่าจะเป็น, สถิติศาสตร์, ชีววิทยา, การสร้างภาพทางการแพทย์ (การกราดภาพตัดขวางใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAT scans) และ คลื่นเสียงความถี่สูง) , เภสัชศาสตร์, เคมี, ทฤษฎีจำนวน (รวมถึง วิทยาการเข้ารหัสลับ) , วิทยาแผ่นดินไหว, อุตุนิยมวิทยา, สมุทรศาสตร์, วิทยาศาสตร์กายภาพสาขาต่างๆ, การสำรวจพื้นดิน และภูมิมาตรศาสตร์, สถาปัตยกรรม, สัทศาสตร์, เศรษฐศาสตร์, วิศวกรรมไฟฟ้า, วิศวกรรมเครื่องกล, วิศวกรรมโยธา, เรขภาพคอมพิวเตอร์, การทำแผนที่, ผลึกศาสตร์

ประวัติตรีโกณมิติ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเรียกว่าคล้ายกัน ถ้ารูปหนึ่งสามารถขยายได้เป็นอีกรูปหนึ่ง และจะเป็นกรณีนี้ก็ต่อเมื่อมุมที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมร่วมกันมุมหนึ่ง และด้านที่ตรงข้ามกับมุมนั้นขนานกัน เป็นข้อเท็จจริงว่ารูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน ด้านแต่ละด้านจะเป็นสัดส่วนกัน นั่นคือ ถ้าด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมหนึ่ง ยาวเป็นสองเท่าของด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน จะกล่าวได้ว่า ด้านที่สั้นที่สุดจะยาวเป็นสองเท่าของด้านที่สั้นที่สุดของอีกรูปสามเหลี่ยม และด้านที่ยาวปานกลางก็จะเป็นสองเท่าของอีกรูปสามเหลี่ยมเช่นกัน อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมแรก จะเท่ากับ อัตราส่วนระหว่างด้านที่ยาวที่สุดและด้านที่สั้นที่สุดของรูปสามเหลี่ยมอีก รูปด้วย

จากข้อเท็จจริงเหล่านี้ เราจะนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ เริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมฉากหนึ่งมุม (90 องศา หรือ 1/2 เรเดียน) ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมใดๆจะอยู่ตรงข้ามกับมุมที่ใหญ่ที่สุด แต่เพราะว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา หรือ เรเดียน ดังนั้นมุมที่ใหญ่ที่สุดในรูปสามเหลี่ยมนี้คือมุมฉาก ด้านที่ยาวที่สุดในรูปสามเหลี่ยมจึงเป็นด้านที่ตรงข้ามกับมุมฉาก เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก

นำรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาสองรูปที่มีมุม A ร่วมกัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสองนี้จะคล้ายกัน และอัตราส่วนของด้านตรงข้ามมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก จะเท่ากันทั้งสองรูป มันจะเป็นจำนวนระหว่าง 0 ถึง 1 ขึ้นอยู่กับขนาดของมุม A เท่านั้น เราเรียกว่า ไซน์ของ A และเขียนด้วย sin (A) ในทำนองเดียวกัน เรานิยาม โคไซน์ของ A คืออัตราส่วนระหว่าง ด้านประชิดมุม A ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติที่สำคัญ ฟังก์ชันอื่นๆสามารถนิยามโดยใช้อัตราส่วนของด้านต่างๆของรูปสามเหลี่ยม แต่มันก็สามารถเขียนได้ในรูปของ ไซน์ และ โคไซน์ ฟังก์ชันเหล่านี้คือ แทนเจนต์, ซีแคนต์, โคแทนเจนต์, และ โคซีแคนต์

วิธีจำ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ อย่างง่ายๆคือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด (ไซน์-ด้านตรงข้าม-ด้านตรงข้ามมุมฉาก โคไซน์-ด้านประชิด-ด้านตรงข้ามมุมฉาก แทนเจนต์-ด้านตรงข้าม-ด้านประชิด)

ที่ผ่านมา ฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกนิยามขึ้นสำหรับมุมระหว่าง 0 ถึง 90 องศา (0 ถึง 1/2 เรเดียน) เท่านั้น หากใช้วงกลมหนึ่งหน่วย จะขยายได้เป็นจำนวนบวกและจำนวนลบทั้งหมด

ครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ถูกจัดลงในตาราง (หรือคำนวณด้วยเครื่องคิดเลข) ทำให้ตอบคำถามทั้งหมดเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมใดๆ ได้อย่างแท้จริง โดยใช้กฎไซน์ และ กฎโคไซน์

กฎเหล่านี้สามารถใช้ในการคำนวณมุมที่เหลือและด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ เมื่อรู้ความยาวด้านสองด้านและขนาดของมุมหนึ่งมุม หรือรู้ขนาดของมุมสองมุมและความยาวของด้านหนึ่งด้าน หรือ รู้ความยาวของด้านทั้งสามด้าน

นักคณิตศาสตร์บางคนเชื่อว่าตรีโกณมิติแต่เดิมนั้น ถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อใช้คำนวณนาฬิกาแดด ซึ่งมักเป็นโจทย์ในหนังสือเก่าๆ ที่มีความสำคัญมากในเรื่องการสำรวจ

ที่มา : http://scimath.org/index.php/matharticle/item/1903-what-is-trigonometry